Généralités

Soit un système décrit par l'équation différentielle :

\(a_n \frac{d^n s(t)}{dt^n} + ... + a_0\ s(t) = b_m \frac{d^m e(t)}{dt^m} + ... + b_0 \ e(t)\)

On se place dans des conditions de Heaviside, alors \(\mathcal{L}\ \left[ \frac{d^n f(t)}{dt^n}\right] = p^n \ F(p)\)

Grâce à la transformée de Laplace, on obtient :

\(a_n \ p^n \ S(p)+...+a_0 \ S(p) = b_m \ p^m \ E(p) + ... + b_0 \ E(p)\).

DéfinitionFonction de transfert

On appelle fonction de transfert la fonction :

\[H(p) = \frac{S(p)}{E(p)} = \frac{b_m \ p^m + ... + b_0}{a_n \ p^n \ + ...+a_0}\]

Elle représente le comportement intrinsèque du système : son expression ne dépend pas du signal d'entrée.

Elle s'exprime simplement comme le rapport de deux polynômes en \(p\) (fraction rationnelle), construits à partir des coefficients de l'équation différentielle régissant son évolution.

Dans le domaine symbolique, la relation entre l'entrée et la sortie est bien linéaire : elle s'écrit \(S(p) = H(p) \cdot E(p)\).

FondamentalForme canonique

Toute fonction de transfert peut être exprimée sous sa forme canonique. Celle-ci permet de comparer la fonction de transfert à d'autres, d'identifier des paramètres, etc..

\[H(p) = \frac{K \left( 1+ ... + b_{m'} p^{m'}\right)}{p^\alpha \left(1+ ... + a_{n'} p^{n'}\right)}\]

avec :

  • \(n = n' + \alpha\) : ordre du système

  • \(\alpha\) : classe du système

  • \(K\) : gain statique

FondamentalZéros et pôles

En faisant apparaître les racines (complexes éventuellement) du dénominateur et du numérateur de la fonction de transfert, \(H(p)\) peut s'écrire :

\[H(p) = \frac{K (p-z_1)(p-z_2)...(p-z_m)}{(p-p_1)(p-p_2)...(p-p_n)}\]

  • \(z_i\) sont les zéros de la fonction de transfert

  • \(p_i\) sont les pôles de la fonction de transfert

L'étude des pôles et des zéros sera utile pour avoir une idée des performances du système (notamment la stabilité)