Produit scalaire
Définition :
Le produit scalaire de \(\vec U\) et \(\vec V\) est le nombre réel noté \(\vec U \ . \ \vec V\) tel que :
Propriétés
Symétrie : \(\vec U . \vec V = \vec V . \vec U\)
Bilinéarité : \(\vec U . (\vec V + \vec W) = \vec U . \vec V + \vec U . \vec W\)
Multiplication par un scalaire : \(k (\vec U . \vec V) = (k \ \vec U).\vec V = \vec U . (k \ \vec V)\)
Remarque : Lien entre produit scalaire et projections
\(\overline{AH_u} = \frac{\vec U . \vec V}{||\vec V||}\)
\(\overline{AH_v} = \frac{\vec U . \vec V}{||\vec U||}\)
Dans le cas où \(\vec U\) et \(\vec V\) sont unitaires (de norme 1), les projections \(\overline{AH_u}\) et \(\overline{AH_v}\) sont identiques.
Avec les coordonnées des vecteurs exprimées dans une base orthonormée (rare en SII)
\(\vec U . \vec V = U_1 . V_1 + U_2 . V_2 + U_3 . V_3\)
Fondamental :
Si le produit scalaire est nul, alors : \(\vec U = \vec 0\), ou \(\vec V = \vec 0\),
ou \(\cos (\vec U, \vec V) = 0\) c'est-à-dire que \(\vec U\) et \(\vec V\) sont orthogonaux.