Principe de l'analyse harmonique (ou fréquentielle)
Définitions
Un système soumis à une entrée sinusoïdale va fournir une sortie elle-même sinusoïdale (après disparition du régime transitoire).
Définition : Réponse harmonique (ou fréquentielle)
La réponse harmonique (ou fréquentielle) d'un système est sa réponse en régime permanent, lorsqu'il est soumis à une entrée sinusoïdale dont on fait varier la pulsation.
Le signal d'entrée s'écrit \(e(t) = e_0 \ \sin (\omega \ t)\) et celui de la sortie \(s(t) = s_0 \ \sin (\omega \ t + \varphi)\), avec :
\(e_0\) et \(s_0\) : amplitudes respectives de l'entrée et de la sortie.
\(\omega\) : pulsation (commune à l'entrée et à la sortie) en rad/s.
\(\varphi\) : déphasage (de la sortie par rapport à l'entrée), en rad.
Remarque : Gain et phase
Pour connaître précisément la réponse relative à l'entrée (elle-même connue), il suffit d'avoir :
le rapport des amplitudes \(\frac{s_0}{e_0}\), ou gain G du système
le déphasage \(\varphi\), ou phase
Remarque : Fréquence et période
Que ce soit pour l'entrée ou la sortie :
la fréquence sera égale à \(f\), telle que \(\omega = 2 \ \pi \ f\)
la période sera égale à \(T\), telle que \(T=\frac{2 \ \pi}{\omega}\)
Fondamental : Utilisation de la fonction de transfert du système
L'équation différentielle décrivant le système n'est pas facile à utiliser ; on se sert à nouveau en SII de la fonction de transfert \(H(p)\). On remplace la variable symbolique \(p\) par \(j \omega\) dans l'expression de la fonction de transfert.
On peut établir alors un lien entre le gain ou la phase, et le nombre complexe qu'est devenue \(H(j\omega)\).
le gain \(\frac{s_0}{e_0} = | H(j \omega)|\), c'est-à-dire le module de la fonction de transfert
la phase \(\varphi = \arg \left(H(j \omega) \right)\), c'est-à-dire l'argument de la fonction de transfert
Rappel : Propriétés du module et de l'argument d'un complexe
Si \(H(j\omega) = A + j \ B\), alors :
\(|H(j\omega)|=\sqrt{A^2+B^2}\)
\(\arg(H(j \omega))=\arctan \left( \frac{B}{A}\right)\) si \(A>0\)
\(\arg(H(j \omega))=\left(\arctan \left( \frac{B}{A}\right)+\pi\right)\) si \(A<0\)