Modélisation par équation différentielle linéaire à coefficients constants

Pour les systèmes automatisés réels, on se ramène au cas des SLCI en faisant des hypothèses simplificatrices. La comparaison du modèle avec la réalité permettra de valider ou non les hypothèses proposées et d'affiner celui-ci si nécessaire.

Pour modéliser un SLCI, il est nécessaire de déterminer une équation reliant l'entrée \(e(t)\) (ou les entrées) et la sortie \(s(t)\). Dans tout ce qui suit, l'entrée \(e\) et la sortie \(s\) sont quelconques : elles peuvent être des tensions, des vitesses, des positions, des forces, etc... Elles ne sont pas non plus nécessairement de même dimension.

Fondamental

Sous les hypothèses de continuité, de linéarité et d'invariance dans le temps, la relation de comportement d'un système peut se mettre sous la forme d'une équation différentielle linéaire à coefficients constants :

\(a_n \frac{d^n s(t)}{dt^n} + ... + a_0\ s(t) = b_m \frac{d^m e(t)}{dt^m} + ... + b_0 \ e(t)\)

Cette propriété sera à la base des développements ultérieurs.

Deux types de modélisation

Pour obtenir cette équation, deux types de modélisation sont envisageables :

  • un modèle de connaissance établi à partir de lois physiques permet d'aboutir généralement à une telle équation. L'équation obtenue peut être plus ou moins complexe en fonction du système.

  • à l'inverse, à partir d'un résultat expérimental sur une partie du système, il est possible de proposer un modèle simple dit modèle de comportement d'un constituant qui sera ensuite utilisé dans le modèle global du système. C'est un modèle dans lequel le sous-système est remplacé par une "boîte noire".