Différents niveaux de modélisation

Remarque

On fait ici l'hypothèse préliminaire que le moteur tourne à vide (\(Cr(t)=0\)) et que le frottement visqueux est négligeable (\(f=0\)).

Inductance négligée

Si l'on considère que l'établissement du régime permanent dans le circuit électrique est bien plus rapide que l'établissement du régime permanent mécanique, on néglige l'inductance \(L\) et l'on obtient :

\[u_m(t)=K\ \omega_m(t)+\frac{R}{K}\left(J\ \frac{d \omega_m(t)}{dt}\right)\]

Cela correspond à un système de premier ordre.

Inductance non négligée

En revanche, si \(L\) n'est pas négligée :

\[u_m(t)=K\ \omega_m(t)+\frac{R}{K}\left(J\ \frac{d \omega_m(t)}{dt}\right)+\frac{L}{K}\left(J\ \frac{d^2 \omega_m(t)}{dt^2}\right)\]

Cela correspond à un système de second ordre.

Angle de rotation

Par ailleurs, si l'on souhaite obtenir l'angle \(\theta_m\) plutôt que la vitesse \(\omega_m\) pour traduire le mouvement de rotation du rotor, cela donne (avec \(\omega_m(t)=\frac{d\theta_m(t)}{dt}\)) :

\[u_m(t)=K\ \frac{d\theta_m(t)}{dt}+\frac{R}{K}\left(J\ \frac{d^2 \theta_m(t)}{dt^2}\right)+\frac{L}{K}\left(J\ \frac{d^3 \theta_m(t)}{dt^3}\right)\]

Cela correspond à un système de troisième ordre.

Remarque

L'ordre de l'équation différentielle d'un système dépendra :

  • du choix de l'entrée et de la sortie

  • de la finesse de la modélisation

Tout n'est que question de compromis : c'est la comparaison entre le modèle et des résultats expérimentaux qui validera les choix adoptés.