Réponse harmonique
\(H(j \omega) = \frac{K}{1+j \ \omega \tau}\)
\(G = 20 \log \frac{K}{\sqrt{1+\omega^2 \tau^2}}=20 \log K - 10 \log (1+\omega^2 \tau^2)\)
\(\varphi = \arg(K) - \arg(1+j\omega\tau)=- \arctan \omega \ \tau\)
Diagramme de Bode
Diagramme asymptotique :
\(\lim\limits_{\omega \to 0} H(j \omega) = K\), donc \(G\) tend vers \(20 \log K\) et \(\varphi\) tend vers \(0°\) (cf. système à action proportionnelle)
\(\lim\limits_{\omega \to \infty} H(j \omega) = \frac{K}{j \omega \tau}\), donc \(G\) est de pente "-1" , et \(\varphi\) tend vers \(-90°\) (cf. intégrateur pur)
la pulsation de cassure en A est \(\omega = \frac{1}{\tau}\) : \(20 \log K = 20 \log K - 20 \log \omega \tau \Rightarrow \omega \tau = 1\).
Diagramme réel :
\(G_{( 1/\tau )} = 20 \log K - 10 \log 2 = 20 \log K - 3dB\)
\(G_{( 1/2\tau )} = 20 \log K - 10 \log 1.25 = 20 \log K - 1dB\)
de même, pour \(\omega = 2 / \tau\), l'écart entre le gain asymptotique et le gain réel est de \(-1 dB\).
\(\varphi_{1/\tau} = - \arctan 1 = -45°\)
Remarque : "Inverse" d'un premier ordre
La fonction de transfert d'un tel système est du type \(1+\tau .p\).
\(H(j \omega) = 1+j \ \omega \tau\)
\(G = 20 \log \sqrt{1+\omega^2 \tau^2}= 10 \log (1+\omega^2 \tau^2)\)
\(\varphi = \arctan \omega \ \tau\)
Ainsi, la pulsation de cassure reste égale à l'inverse de la constante de temps, mais :
la pente de l'asymptote est de +20dB/décade au lieu de -20 dB/décade
la phase asymptotique est de +90° au lieu de -90°