Fermeture géométrique
Définition :
La loi entrée - sortie d'un mécanisme est une équation dans laquelle seuls le paramètre variable d'entrée et le paramètre variable de sortie n'interviennent.
Elle est généralement obtenue par fermeture géométrique.
Remarque :
Si l'on souhaite obtenir une relation entre les paramètres de vitesse, il faudra dériver l'équation obtenue par rapport au temps.
Méthode : Étape 1 - Chaîne fermée de vecteurs position
Pour chaque chaîne fermée (cf. graphe des liaisons), exprimer une somme nulle de vecteurs position.
Exemple :
\(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + \overrightarrow{CA} = \vec 0\)
Méthode : Étape 2 - Expression vectorielle
Remplacer chaque vecteur position par son expression vectorielle connue.
Exemple :
\(a \ \vec x_1 + b \ \vec x_2 + c \ \vec x_3 + d \ \vec y_1 = \vec 0\)
Méthode : Étape 3 - Projection dans une base commune
Choisir une base dans laquelle projeter tous les vecteurs unitaires, afin d'obtenir une ou plusieurs expressions scalaires.
Exemple :
\(a \ \vec x_1 + b \ \left( \cos \theta \vec x_1 + \sin \theta \vec y_1 \right)+ c \ \left( \cos \beta \vec x_1 + \sin \ \beta \vec y_1 \right) + d \ \vec y_1 = \vec 0\)
Ce qui donne :
\(a + b \ \cos \theta + c \ \cos \beta = 0\)
\(b \sin \theta + c \sin \beta +d=0\)
Méthode : Étape 4 - Manipulation des équations scalaires
Manipuler si besoin les équations scalaires afin d'obtenir une équation ne liant les paramètres d'entrée et de sortie que par des termes connus.
Exemple :
Si \(\theta\) est la sortie et \(\beta\) l'entrée :
\(b \ \cos \theta =- c \ \cos \beta -a\)
\(b \sin \theta =- c \sin \beta -d\)
On peut obtenir la loi entrée-sortie suivante :
\(\tan \theta = \frac{c \sin \beta + d}{c \cos \beta + a}\)