Transformées de Laplace courantes
Fondamental : Distribution ("fonction") de Dirac
\[\mathcal{L} \left[ \delta (t) \right] = 1\]
Fondamental : Échelon
\[\mathcal{L} \left[ e_0\ u (t) \right] = \frac{e_0}{p}\]
Fondamental : Rampe
\[\mathcal{L} \left[a_0 \ t \ u(t) \right] = \frac{a_0}{p^2}\]
Fondamental : Fonction exponentielle (avec a>0)
\[\begin{aligned}
& \mathcal{L} \left[ e^{-a \ t} \ u(t) \right] = \frac{1}{p+ a}
& \mathcal{L} \left[ t \cdot e^{-a \ t} \ u(t) \right] = \frac{1}{(p+ a)^2}
\end{aligned}\]
Fonctions sinus et cosinus
\[\begin{aligned}
& \mathcal{L} \left[ \sin (\omega t) \ u(t) \right] = \frac{\omega}{p^2 + \omega ^2}
& \mathcal{L} \left[ \cos (\omega t) \ u(t) \right] = \frac{p}{p^2 + \omega ^2}
\end{aligned}\]
Fonctions sinus et cosinus avec exponentielle en facteur
\[\begin{aligned}
& \mathcal{L} \left[ e^{-a \ t} \ \sin (\omega t) \ u(t) \right] = \frac{\omega}{(p+a)^2 + \omega ^2}
& \mathcal{L} \left[ e^{-a \ t} \ \cos (\omega t) \ u(t) \right] = \frac{p+a}{(p+a)^2 + \omega ^2}
\end{aligned}\]
Remarque :
Même si les transformées de Laplace courantes peuvent être rappelées au candidat lors des concours, il est primordial de connaître les plus courantes présentées ici par cœur.