Définition de la transformée de Laplace
L'idée générale est de changer de variable, et de faire correspondre à la fonction temporelle \(f(t)\) une image de celle-ci, \(F(p)\), uniquement valable dans le domaine symbolique.
Définition :
\(F(p) = \mathcal{L}\ \left[f(t)\right] = \int_{0}^{+ \infty} e^{-p\ t} \times f(t) \ dt\)
On passe du domaine temporel (variable \(t\)) au domaine symbolique (variable \(p\))
Remarque : Notation anglo-saxonne
Dans les pays anglo-saxons, la variable symbolique est souvent notée \(s\), pour symbolic variable. Les logiciels de simulation Scilab et Matlab utilisent cette notation.
Remarque :
La transformée F(p) n'existe que si l'intégrale a un sens ; il faut donc que :
\(f(t)\) soit intégrable
lorsque \(t \rightarrow \infty\), \(f(t)\) ne croisse pas plus vite qu'une exponentielle (afin de maintenir le caractère convergent de la fonction à intégrer)
Dans la pratique, on ne calcule que les transformées de Laplace de fonctions causales, c'est-à-dire telles que \(f(t) = 0\) pour \(t \le 0\). Ces fonctions \(f\) représentent des grandeurs physiques : intensité, température, effort, vitesse, etc..
On écrit la transformée de Laplace inverse comme suit : \(f(t) = \mathcal{L}^{-1} \ \left[ F(p) \right]\).
Remarque : Point de vue complexe de la variable p
Si nécessaire (cf. analyse harmonique), on pourra considérer la variable symbolique \(p\) comme un nombre complexe (avec partie réelle et partie imaginaire) : \(p = \alpha + j \ \beta\)
Attention : Convention d'écriture
Par habitude, une lettre minuscule sera utilisée pour noter le signal dans le domaine temporel, et la lettre majuscule pour noter la transformée de Laplace de ce signal. Cependant, si dans un énoncé, la grandeur temporelle est déjà en majuscule, on confondra les deux écritures ; il faudra donc bien veiller à préciser la variable associée au domaine d'étude :
\(C(t)\) pour le domaine temporel
\(C(p)\) pour le domaine symbolique