Réponse harmonique

\(\displaystyle{H(j \omega) = \frac{K}{ 1+ j \frac{2 \ m \ \omega}{\omega_0}- \frac{\omega^2}{\omega_0^2}}=\frac{K}{\left( 1- \frac{\omega^2}{\omega_0^2}\right)+ j \frac{2 \ m \ \omega}{\omega_0}}}\) ; on définit \(u = \frac{\omega}{\omega_0}\) appelée pulsation réduite.

Particularités

Module

\(|H(j u)| = \frac{K}{\sqrt{\left(1-u^2\right)^2+4 m^2 u^2}}\)

Gain en dB

\(G_{dB} = 20 \log K - 10 \log \left[ \left( 1-u^2\right)^2+4 m^2 u^2\right]\)

Résonance du gain

La dérivée du module vaut : \(\frac{d|H(j u)|}{du} = \frac{-K\left[-4u(1-u^2)+8m^2u\right]}{2\left[\left(1-u^2\right)^2+4 m^2 u^2\right]^{3/2}}\).

Elle s'annule si \(-4u(1-u^2)+8m^2u=0\), c'est-à-dire si :

  • \(u=0\), donc \(\omega=0\) (absurde)

  • \(u=\sqrt{1-2m^2}\), à condition que \(1-2m^2 >0\), c'est-à-dire si \(m < \frac{\sqrt{2}}{2}\).

Dans ces conditions, on dit qu'il y a résonance pour la pulsation de résonance \(\omega_R = \omega_0 \ \sqrt{1-2 m^2}\).

On obtient \(|H(j \omega_R)| = \frac{K}{2m\sqrt{1-m^2}}\).

Plus \(m\) est faible, plus la résonance est importante : on définit pour caractériser ce phénomène le facteur de surtension \(Q\) qui correspond au rapport du gain à la résonance sur le gain statique:

\(Q= \frac{1}{2m\sqrt{1-m^2}}\)

Phase

\(\varphi = \arg\left( \frac{K}{\left( 1- u^2\right)+ j \ 2m u}\right)\)

Si \(K>0\): \(\varphi = -\arg\left( \left( 1- u^2\right)+ j \ 2m u\right)\).

Trois cas sont possibles :

  • \(u<1\) donc \(\omega < \omega_0\) : \(\varphi = - \arctan \frac{2 m u}{1-u^2}\)

  • \(u=1\) donc \(\omega = \omega_0\) : \(\varphi = - 90°\)

  • \(u>1\) donc \(\omega > \omega_0\) : \(\varphi = - \left(\arctan \frac{2 m u}{1-u^2}+\pi\right)\)

Diagramme de Bode

Bode : second ordre (asymptotique, résonant et non-résonant)

Lorsque \(\omega\) tend vers 0 :

\(G \rightarrow 20 \log K\) et \(\varphi \rightarrow 0\)

Lorsque \(\omega\) tend vers \(\infty\) :

\(\left( 1-u^2\right)^2+4 m^2 u^2 \rightarrow u^4\), donc \(G_{dB} \rightarrow 20 \log K - 40 \log u\) et \(\varphi \rightarrow -180°\)

La pulsation de cassure correspond à \(\omega_0\) : \(20 \log K = 20 \log K - 40 \log u \Rightarrow u=1\)

Lorsque \(\omega = \omega_0\) :

\(G_{dB} = 20 \log \frac{K}{2m}\) et \(\varphi = -90°\)

Remarque

La pulsation de résonance \(\omega_R\) est forcément inférieure à la pulsation propre \(\omega_0\) : le pic de résonance, s'il existe, se situe donc à gauche de la cassure des asymptotes du gain.

Cas où m > 1

Dans le cas où \(m>1\), la fonction de transfert comporte deux pôles réels.

Elle peut donc être écrite de la façon suivante : \(H(p) = \frac{K}{1+\tau_1 \ p} \cdot \frac{1}{1+\tau_2 \ p}\), c'est-à-dire comme le produit de deux fonctions de transfert de premier ordre.

Le diagramme asymptotique peut alors être tracé plus précisément, comme la superposition de deux diagrammes de premier ordre.

Bode : second ordre asymptotique lorsque m > 1

Par identification : \(\tau_1 \cdot \tau_2 = \frac{1}{\omega_0^2}\), donc \(\log 1/\tau_1 + \log 1/\tau_2 = 2 \log \omega_0\).

\(\log \omega_0\) est donc "au milieu entre" \(\log \frac{1}{\tau_1}\) et \(\log \frac{1}{\tau_2}\)