Calcul des pôles d'un second ordre et représentation dans le plan complexe
Discriminant
Le polynôme du dénominateur peut s'écrire \(p^2 + 2m\omega_0 p + \omega_0 ^2\).
Le discriminant \(\Delta = 4 \omega_0 ^2 (m^2-1)\).
Les pôles de la fonction de transfert de second ordre dépendent donc de la valeur du coefficient d'amortissement \(m \); il y a trois cas de figure possibles.
Cas où m>1, discriminant positif
\(p_1=-m\omega_0+\omega_0 \sqrt{m^2-1}\)
\(p_2=-m\omega_0-\omega_0 \sqrt{m^2-1}\)
Les pôles sont deux réels négatifs.
Représentation dans le plan complexe
Lorsque m tend vers \(\infty\), \(p_1\) tend vers 0 et \(p_2\) tend vers \(-\infty\).
Remarque :
\(p_1 \cdot p_2 = \omega_0^2\)
Cas où m=1, discriminant nul
\(p_1 = p_2 = - \omega_0\)
Les deux pôles sont réels confondus.
Représentation dans le plan complexe
Cas où m<1, discriminant négatif
On pose \(\Delta = 4 \omega_0 ^2 \ j^2(1-m^2)\).
\(p_1=-m\omega_0+j \omega_0 \sqrt{1-m^2}\)
\(p_2=-m\omega_0-j \omega_0 \sqrt{1-m^2}\)
Les deux pôles sont deux complexes conjugués.
Remarque :
\(|p_1| = |p_2| = \sqrt{Re^2 + Im^2} = \omega_0\)