Composition des vecteurs accélération
Complément :
On reprend les définitions vues pour la composition des vecteurs vitesse.
En partant de \(\overrightarrow{V(A\in 2/0)} = \overrightarrow{V(A\in 2/1)} + \overrightarrow{V(A\in 1/0)}\), on peut écrire :
\(\overrightarrow{V(A\in 2/0)} = \overrightarrow{V(A\in 2/1)} + \overrightarrow{V(O_1 \in 1/0)} + \overrightarrow{\Omega(1/0)} \wedge \overrightarrow{O_1 A}\)
En dérivant chacun des termes par rapport au temps, dans 0, on obtient :
\(\begin{aligned}\left[ \frac{d}{dt} \overrightarrow{V(A \in 2/0)}\right]_0 = &\left[ \frac{d}{dt} \overrightarrow{V(A \in 2/1)}\right]_0 + \left[ \frac{d}{dt} \overrightarrow{V(O_1 \in 1/0)}\right]_0 \\ & + \left[ \frac{d}{dt} \overrightarrow{\Omega(1/0)}\right]_0 \wedge \overrightarrow{O_1 A} + \overrightarrow{\Omega(1/0)} \wedge \left[ \frac{d}{dt} \overrightarrow{O_1 A}\right]_0\end{aligned}\)
Soit, en appliquant la formule de Bour pour les deux seuls termes ne pouvant pas être interprétés directement :
\(\begin{aligned}\overrightarrow{\Gamma(A \in 2/0)} = &\left[ \frac{d}{dt} \overrightarrow{V(A \in 2/1)}\right]_{1} + \overrightarrow{\Omega(1/0)} \wedge \overrightarrow{V(A \in 2/1)} + \overrightarrow{\Gamma(O_1 \in 1/0)} \\ &+ \left[ \frac{d}{dt} \overrightarrow{\Omega(1/0)}\right]_0 \wedge \overrightarrow{O_1 A} + \overrightarrow{\Omega(1/0)} \wedge \left( \left[ \frac{d}{dt} \overrightarrow{O_1 A}\right]_{1} + \overrightarrow{\Omega(1/0)} \wedge \overrightarrow{O_1 A} \right)\end{aligned}\)
Ou encore :
\(\begin{aligned}\overrightarrow{\Gamma(A \in 2/0)} = &\overrightarrow{\Gamma(A \in 2/1)} + \overrightarrow{\Omega(1/0)} \wedge \overrightarrow{V(A \in 2/1)} + \overrightarrow{\Gamma(O_1 \in 1/0)} \\ &+ \left[ \frac{d}{dt} \overrightarrow{\Omega(1/0)}\right]_0 \wedge \overrightarrow{O_1 A} + \overrightarrow{\Omega(1/0)} \wedge \left( \overrightarrow{V(A \in 2/1)} + \overrightarrow{\Omega(1/0)} \wedge \overrightarrow{O_1 A} \right)\end{aligned}\)
En regroupant les termes différemment :
\(\begin{aligned}\overrightarrow{\Gamma(A \in 2/0)} = &\overrightarrow{\Gamma(A \in 2/1)} + \overrightarrow{\Gamma(O_1 \in 1/0)}+ \left[ \frac{d}{dt} \overrightarrow{\Omega(1/0)}\right]_0 \wedge \overrightarrow{O_1 A} \\ &+ \overrightarrow{\Omega(1/0)} \wedge \left( \overrightarrow{\Omega(1/0)} \wedge \overrightarrow{O_1 A} \right)+2 \cdot \overrightarrow{\Omega(1/0)} \wedge \overrightarrow{V(A \in 2/1)}\end{aligned}\)
L'expression \(\overrightarrow{\Gamma(O_1 \in 1/0)}+ \left[ \frac{d}{dt} \overrightarrow{\Omega(1/0)}\right]_0 \wedge \overrightarrow{O_1 A} + \overrightarrow{\Omega(1/0)} \wedge \left( \overrightarrow{\Omega(1/0)} \wedge \overrightarrow{O_1 A} \right)\) correspond au vecteur \(\overrightarrow{\Gamma(A \in 1/0)}\) (cf. champ des vecteurs accélération d'un solide).
Définition :
On obtient alors la relation suivante traduisant la composition des vecteurs accélération :
Remarque :
Dans le mouvement du point \(A\) appartenant (naturellement) au solide \(2\) par rapport au repère \(0\), on parle alors :
d'accélération absolue \(\overrightarrow{\Gamma(A\in2/0)}\)
d'accélération relative \(\overrightarrow{\Gamma(A\in2/1)}\)
d'accélération d'entraînement \(\overrightarrow{\Gamma(A\in1/0)}\) (car c'est l'accélération du point \(A\) comme s'il était entraîné par \(1\) dans son mouvement par rapport à \(0\))
d'accélération de Coriolis \(2 \cdot \overrightarrow{\Omega(1/0)} \wedge \overrightarrow{V(A \in 2/1)}\)
Complément : Gaspard Gustave Coriolis
On le connaît surtout pour le théorème de mécanique qui porte son nom et pour la "force" de Coriolis qui correspond à une loi de la cinématique : « Tout objet en mouvement dans l'hémisphère nord et qui se rapproche de l'axe de rotation terrestre est dévié vers sa droite, vers sa gauche s'il s'en éloigne (les sens de déviation sont inverses dans l'hémisphère sud). »
Dans son livre « Du calcul de l'effet des machines (1829) »
il nomme « travail » une quantité usuellement appelée à cette époque puissance mécanique, quantité d'action ou effet dynamique en précisant l'ambiguïté qu'apportent ces expressions. Avec lui et Jean-Victor Poncelet (1788-1867), le théorème de l'énergie cinétique prend sa forme quasi-définitive et l'enseignement de la mécanique est "dépoussiéré". La question des unités et de l'homogénéité des formules devient fondamentale.
L'accélération de Coriolis permet l'interprétation de beaucoup de phénomènes à la surface de la Terre : le mouvement des masses d'air et des cyclones, la déviation de la trajectoire des projectiles à grande portée, le changement du plan de mouvement d'un pendule tel que montré par Foucault dans son expérience de 1851 au Panthéon de Paris, ainsi que la légère déviation vers l'est lors de la chute libre.
