Technique générale de tracé

Addition des gains et des phases

Soit \(H = H_1 \cdot H_2\) (fonctions de transfert en série):

  • \(G_{dB} = G_{dB1} + G_{dB2}\), car \(20 \log |H| = 20 \log |H_1| + 20 \log |H_2|\)

  • \(\varphi = \varphi_1 + \varphi_2\), car \(\arg H = \arg H_1 + \arg H_2\)

Fondamental

Ainsi, lorsque des fonctions de transfert sont en série (donc multipliées les unes avec les autres) :

  • le gain total est égal à la somme de chaque gain (grâce aux propriétés du décibel)

  • la phase totale est égale à la somme de chaque phase (grâce aux propriétés de l'argument d'un complexe)

Conseil

On peut donc tracer le diagramme de Bode de n'importe quel système, en connaissant celui de toutes les fonctions de transfert élémentaires suivantes :

  • le proportionnel pur \(K\)

  • l'intégrateur \(\frac{K}{p}\) (et parfois son inverse, le dérivateur \(Kp\))

  • le premier ordre \(\frac{1}{1+\tau p}\) et son inverse

  • le second ordre \(\frac{1}{1+\frac{2m}{\omega_{0}}p+\frac{1}{\omega_{0}^2}p^2}\) et son inverse

MéthodeConstruction d'un diagramme de Bode pour les systèmes d'ordre quelconque

Première étape : écrire la fonction de transfert globale comme le produit de fonctions fondamentales.

\[\displaystyle{H(j\omega)=\frac{K}{(j\omega)^\alpha}.\frac{\prod_m\left(1+\tau_m.j\omega\right)}{\prod_n\left(1+\tau_n.j\omega\right)}. \frac{\prod_k\left(1+\frac{2m_k}{\omega_{0k}}j\omega+\frac{1}{\omega_{0k}^2}(j\omega)^2\right)}{\prod_r\left(1+\frac{2m_r}{\omega_{0r}}j\omega+\frac{1}{\omega_{0r}^2}(j\omega)^2\right)} }\]

avec les :

  • \(\alpha\) intégrateurs

  • \(m\) inverses de premier ordre

  • \(n\) premier ordres

  • \(k\) inverses de second ordre

  • \(r\) second ordres

Deuxième étape : classer les pulsations de cassures (\(\frac{1}{\tau}\) pour un premier ordre, \(\omega_0\) pour un second ordre) dans un ordre croissant. Les "cassures" du tracé asymptotique correspondront à ces pulsations.

Troisième étape :

  1. tracer le diagramme de \(\frac{K}{(j\omega)^\alpha}\)

  2. en avançant vers les pulsations croissantes, faire intervenir les autres systèmes fondamentaux selon l'ordre précédent.

Quatrième étape éventuelle : affiner le tracé asymptotique en combinant les courbes réelles.