Modéliser les SLCI : outils

Soit un système modélisé par sa fonction de transfert \(H(p)\), avec \(E(p)\) et \(S(p)\) respectivement les transformées de Laplace de l'entrée \(e(t)\) et de la sortie \(s(t)\).

En mettant en évidence les pôles de la fonction de transfert pour une décomposition en éléments simples, on peut écrire \(\displaystyle{H(p)=\frac{N(p)}{D(p)}=\frac{N(p)}{(p-p_1)(p-p_2)\ ... \ (p-p_n)}}\).

L'entrée étant sinusoïdale, \(e(t)=e_0 \ \sin \omega t\), on a \(E(p)=e_0 \frac{\omega}{p^2 + \omega^2}\).

Ainsi \(\displaystyle{S(p) = H(p) . E(p) = H(p) . e_0 \frac{\omega}{p^2 + \omega^2}}\).

Comme tous les pôles de la fonction de transfert sont considérés réels, l'expression de \(S(p)\) a pour racines :

• des réels (négatifs) \(p_1, p_2, ... , p_n\)

• un complexe \(j\omega\) et son conjugué \(-j\omega\).

On peut alors écrire \(\displaystyle{S(p) = \frac{A}{p-j\omega} + \frac{\bar A}{p+j\omega}+\frac{B_1}{p-p_1}+\frac{B_2}{p-p_2}+ ... +\frac{B_n}{p-p_n}}\) où :

• \(A\) et un complexe et \(\bar A\) son conjugué

• les \(B_i\) sont des constantes réelles

Dans le domaine temporel, cela donne

\(\displaystyle{s(t)=A e^{j\omega t} + \bar A e^{-j\omega t}+B_1 e^{p_1 t} + B_2 e^{p_2 t} + ... + B_n e^{p_n t}}\)

Puisque l'on veut observer le régime permanent uniquement de la réponse, on suppose que le régime transitoire disparaît. Cela correspond à la disparition des termes \(B_1 e^{p_1 t} + B_2 e^{p_2 t} + ... + B_n e^{p_n t}\), qui tendent vers \(0\) lorsque \(t\) tend vers \(\infty\) (les pôles \(p_i\) sont négatifs).

En régime permanent la réponse peut donc s'écrire \(\displaystyle{s(t)=A e^{j\omega t} + \bar A e^{-j\omega t}}\)

Puisque \(H(j\omega)\) est un nombre complexe, on peut écrire \(H(j\omega)=|H(j\omega)| \ e^{j \varphi}\) et \(H(-j\omega)=|H(j\omega)| \ e^{-j \varphi}\)

La sortie du système peut donc être écrite de la manière suivante :